श्रीनिवास रामानुजन :-
श्रीनिवास रामानुजन अयंगर (22 दिसंबर 1887 – 26 अप्रैल 1920) एक भारतीय गणितज्ञ थे। हालाँकि गणित में उनके पास लगभग कोई औपचारिक प्रशिक्षण नहीं था, फिर भी उन्होंने गणितीय विश्लेषण (mathematical analysis), संख्या सिद्धांत (number theory), अनंत श्रृंखला (infinite series) और निरंतर भिन्नों (continued fractions) में महत्वपूर्ण योगदान दिया, जिसमें उन गणितीय समस्याओं के समाधान भी शामिल थे जिन्हें उस समय हल नहीं किया जा सकता था।
रामानुजन ने शुरू में अपना गणितीय अनुसंधान अलगाव में विकसित किया। हंस ईसेनक (हंस जर्गेन ईसेनक एक जर्मन मूल के ब्रिटिश मनोवैज्ञानिक थे उन्हें बुद्धिमत्ता और व्यक्तित्व पर उनके काम के लिए सबसे ज्यादा याद किया जाता है) के अनुसार, “उन्होंने प्रमुख पेशेवर गणितज्ञों को अपने काम में दिलचस्पी लेने की कोशिश की, लेकिन अधिकांशत: असफल रहे। उन्हें जो दिखाना था वह बहुत नया था, बहुत अपरिचित था, और अतिरिक्त रूप से असामान्य तरीकों से प्रस्तुत किया गया था ” ऐसे गणितज्ञों की तलाश में जो उनके काम को बेहतर ढंग से समझ सकें, 1913 में उन्होंने इंग्लैंड के कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में अंग्रेजी गणितज्ञ जी.एच. हार्डी के साथ एक डाक पत्राचार शुरू किया। रामानुजन के काम को असाधारण मानते हुए हार्डी ने उनके लिए कैम्ब्रिज की यात्रा की व्यवस्था की। अपने नोट्स में, हार्डी ने टिप्पणी की कि रामानुजन ने अभूतपूर्व नए प्रमेय तैयार किए थे, जिनमें कुछ ऐसे थे जिन्होंने “मुझे पूरी तरह से हरा दिया; मैंने पहले कभी उनके जैसा कुछ नहीं देखा था”, और कुछ हाल ही में सिद्ध लेकिन अत्यधिक उन्नत परिणाम भी शामिल थे।
अपने छोटे से जीवन के दौरान, रामानुजन ने स्वतंत्र रूप से लगभग 3,900 परिणाम (ज्यादातर पहचान और समीकरण) संकलित किए। कई पूरी तरह से नये थे; उनके मूल और अत्यधिक अपरंपरागत परिणाम, जैसे कि रामानुजन प्राइम (Ramanujan prime), रामानुजन थीटा फ़ंक्शन (the Ramanujan theta function), विभाजन सूत्र (partition formulae) और नकली थीटा फ़ंक्शन (mock theta functions) ने काम के नए क्षेत्रों को खोल दिया है और बड़ी मात्रा में आगे के शोध को प्रेरित किया है। उनके हजारों परिणामों में से एक या दो को छोड़कर सभी अब सही साबित हो चुके हैं। रामानुजन जर्नल, एक वैज्ञानिक पत्रिका, की स्थापना रामानुजन से प्रभावित गणित के सभी क्षेत्रों में काम को प्रकाशित करने के लिए की गई थी, और उनकी नोटबुक – जिसमें उनके प्रकाशित और अप्रकाशित परिणामों के सारांश शामिल थे – का उनकी मृत्यु के बाद से दशकों तक विश्लेषण और अध्ययन किया गया है।
2012 के अंत तक, उनके लेखन की गहन टिप्पणियाँ और सूक्ष्म संख्या सिद्धांत उनकी मृत्यु के लगभग एक सदी बाद तक अप्रत्याशित बनी रहीं। वह रॉयल सोसाइटी के सबसे कम उम्र के फेलो में से एक और केवल दूसरे भारतीय सदस्य बने और ट्रिनिटी कॉलेज, कैम्ब्रिज के फेलो चुने जाने वाले पहले भारतीय बने। अपने मूल पत्रों के बारे में, हार्डी ने कहा कि एक नज़र यह दिखाने के लिए पर्याप्त थी कि उन्हें केवल उच्चतम क्षमता के गणितज्ञ द्वारा ही लिखा जा सकता था, उन्होंने रामानुजन की तुलना यूलर और जैकोबी जैसे गणितीय प्रतिभाओं से की।
1919 में, हेपेटिक अमीबायोसिस (जिसे कुछ साल पहले तक एक जटिल बिमारी माना जाता था) के कारण खराब स्वास्थ्य की वजह से रामानुजन को भारत लौटने के लिए मजबूर होना पड़ा, जहां 1920 में 32 वर्ष की आयु में उनकी मृत्यु हो गई। हार्डी को लिखे गए उनके अंतिम पत्र जनवरी 1920, से पता चलता है कि वह अभी भी नए गणितीय विचारों और प्रमेयों का निर्माण जारी रखे हुए थे। उनकी “खोई हुई नोटबुक”, जिसमें उनके जीवन के अंतिम वर्ष की खोजें शामिल थीं, 1976 में फिर से खोजे जाने पर गणितज्ञों के बीच बहुत उत्साह पैदा हुआ।
प्रारंभिक जीवन :-
रामानुजन (शाब्दिक रूप से, “राम के छोटे भाई”, ) का जन्म 22 दिसंबर 1887 को वर्तमान तमिलनाडु के इरोड में एक तमिल ब्राह्मण अयंगर परिवार में हुआ था। उनके पिता, कुप्पुस्वामी श्रीनिवास अयंगर, एक साड़ी की दुकान में क्लर्क के रूप में काम करते थे। उनकी माँ, कोमलताम्मल, एक गृहिणी थीं और एक स्थानीय मंदिर में गाती थीं। वे कुंभकोणम शहर में एक छोटे से पारंपरिक घर में रहते थे। पारिवारिक घर अब एक संग्रहालय है। दिसंबर 1889 में, रामानुजन को चेचक हो गई, लेकिन वे ठीक हो गए। वह अपनी मां के साथ मद्रास (अब चेन्नई) के पास कांचीपुरम में अपने माता-पिता के घर चले गए।
1 अक्टूबर 1892 को रामानुजन का दाखिला स्थानीय स्कूल में कराया गया। उन्हें मद्रास में स्कूल पसंद नहीं आया और उन्होंने वहां जाने से बचने की कोशिश की। उनके परिवार ने यह सुनिश्चित करने के लिए एक स्थानीय कांस्टेबल को नियुक्त किया कि वह स्कूल जाएं। छह महीने के भीतर, रामानुजन कुंभकोणम में वापस आ गये।
चूँकि रामानुजन के पिता अधिकांश दिन काम पर रहते थे, इसलिए उनकी माँ देखभाल करती थीं और उनके बीच घनिष्ठ संबंध थे। उनसे, उन्होंने परंपरा और पुराणों के बारे में, धार्मिक गीत गाना, मंदिर में पूजा में शामिल होना और विशेष खान-पान की आदतों को बनाए रखना सीखा। 10 साल के होने से ठीक पहले, नवंबर 1897 में, उन्होंने अंग्रेजी, तमिल, भूगोल और अंकगणित में जिले में सर्वोत्तम अंकों के साथ अपनी प्राथमिक परीक्षा उत्तीर्ण की। उस ने टाउन हायर सेकेंडरी स्कूल में प्रवेश लिया, जहाँ उन्हें पहली बार औपचारिक गणित का सामना करना पड़ा।
11 साल की उम्र में वह एक प्रतिभाशाली बालक थे। उन्होंने 13 साल की उम्र में अपने दम पर परिष्कृत प्रमेयों की खोज करते हुए इसमें महारत हासिल कर ली। 14 साल की उम्र में, उन्हें योग्यता प्रमाण पत्र और अकादमिक पुरस्कार प्राप्त हुए जो उनके पूरे स्कूल करियर के दौरान जारी रहे। उन्होंने आवंटित समय के आधे समय में गणितीय परीक्षा पूरी की, और ज्यामिति और अनंत श्रृंखला के साथ परिचितता दिखाई। रामानुजन को 1902 में घन समीकरणों को हल करने का तरीका दिखाया गया था। बाद में उन्होंने चतुर्थक को हल करने के लिए अपनी स्वयं की विधि विकसित की। 1903 में, उन्होंने क्विंटिक को हल करने की कोशिश की, बिना यह जानते हुए कि रेडिकल्स के साथ इसे हल करना असंभव था।
1903 में, जब वे 16 वर्ष के थे, रामानुजन ने स्वतंत्र रूप से बर्नौली संख्याओं का विकास और जांच की और 15 दशमलव स्थानों तक यूलर-माशेरोनी स्थिरांक की गणना की। उस समय उनके साथियों ने कहा कि वे “उन्हें शायद ही कभी समझते थे” और “उनके प्रति सम्मानपूर्वक खड़े रहते थे”।
1904 में जब उन्होंने स्नातक की उपाधि प्राप्त की, तो स्कूल के प्रधानाध्यापक कृष्णस्वामी अय्यर द्वारा रामानुजन को गणित के लिए के. रंगनाथ राव पुरस्कार से सम्मानित किया गया। अय्यर ने रामानुजन को एक उत्कृष्ट छात्र के रूप में पेश किया जो अधिकतम से अधिक अंक पाने का हकदार था। उन्हें कुंभकोणम के सरकारी कला महाविद्यालय में अध्ययन करने के लिए छात्रवृत्ति मिली, लेकिन गणित में उनका इतना मन था कि वे किसी अन्य विषय पर ध्यान केंद्रित नहीं कर सके और उनमें से अधिकांश में असफल हो गए, इस प्रक्रिया में उनकी छात्रवृत्ति खो गई। अगस्त 1905 में, रामानुजन घर से भाग विशाखापत्तनम चले गए और लगभग एक महीने तक राजमुंदरी में रहे।
बाद में उन्होंने मद्रास के पचैयप्पा कॉलेज में दाखिला लिया। वहां, वह गणित में उत्तीर्ण हुए, केवल उन प्रश्नों को हल करने का विकल्प चुना जो उन्हें पसंद थे और बाकी को अनुत्तरित छोड़ दिया, लेकिन अंग्रेजी, शरीर विज्ञान और संस्कृत जैसे अन्य विषयों में खराब प्रदर्शन किया। रामानुजन दिसंबर 1906 में और फिर एक साल बाद अपनी फेलो ऑफ आर्ट्स परीक्षा में असफल रहे। एफए की डिग्री के बिना, उन्होंने कॉलेज छोड़ दिया और अत्यधिक गरीबी में रहते हुए और अक्सर भुखमरी के कगार पर रहते हुए, गणित में स्वतंत्र शोध करना जारी रखा।
1910 में, 23 वर्षीय रामानुजन और भारतीय गणितीय सोसायटी के संस्थापक, वी. रामास्वामी अय्यर के बीच एक बैठक के बाद, रामानुजन को मद्रास के गणितीय हलकों में पहचान मिलनी शुरू हुई, जिसके कारण उन्हें मद्रास विश्वविद्यालय में एक शोधकर्ता के रूप में शामिल किया गया।
भारत में वयस्कता :-
14 जुलाई 1909 को, रामानुजन ने जानकी (एक लड़की जिसे उनकी मां ने एक साल पहले उनके लिए चुना था और जो उनकी शादी के समय दस साल की थी ) से शादी की I रामानुजन के पिता ने विवाह समारोह में भाग नहीं लिया। जैसा कि उस समय आम था, जानकी शादी के बाद तीन साल तक अपने मायके में ही रहीं, जब तक कि वह युवावस्था तक नहीं पहुंच गईं। 1912 में, वह रामानुजन के साथ शामिल हो गईं।
विवाह के बाद, रामानुजन को हाइड्रोसील हो गया। इस स्थिति का इलाज एक सर्जिकल ऑपरेशन से किया जा सकता है लेकिन उनका परिवार इस ऑपरेशन का खर्च उठाने में सक्षम नहीं था। जनवरी 1910 में, एक डॉक्टर ने स्वेच्छा से बिना किसी लागत के सर्जरी करने की पेशकश की। अपनी सफल सर्जरी के बाद, रामानुजन ने नौकरी की तलाश की। जब वह मद्रास में क्लर्क पद की तलाश में घर-घर घूम रहे थे, तब वह एक मित्र के घर पर रुके थे। पैसा कमाने के लिए, उन्होंने प्रेसीडेंसी कॉलेज में उन छात्रों को पढ़ाया जो फेलो ऑफ़ आर्ट्स परीक्षा की तैयारी कर रहे थे।
1910 के अंत में रामानुजन फिर से बीमार पड़ गये। उन्हें अपने स्वास्थ्य के लिए डर था, और उन्होंने अपने मित्र आर. राधाकृष्ण अय्यर से कहा कि उनकी अनुपस्थिति की स्तिथि में वह उनकी नोटबुक प्रोफेसर सिंगारवेलु मुदलियार [पचैयप्पा कॉलेज में गणित के प्रोफेसर] या मद्रास क्रिश्चियन कॉलेज के ब्रिटिश प्रोफेसर एडवर्ड बी. रॉस को सौंप दें।” रामानुजन के ठीक होने और अय्यर से अपनी नोटबुक वापस लेने के बाद, उन्होंने कुंभकोणम से विल्लुपुरम, जो कि फ्रांसीसी नियंत्रण वाला शहर था, के लिए एक ट्रेन ली। 1912 में, रामानुजन अपनी पत्नी और मां के साथ मद्रास के जॉर्ज टाउन, सायवा मुथैया मुदाली स्ट्रीट में एक घर में चले गए, जहां वे कुछ महीनों तक रहे। मई 1913 में, मद्रास विश्वविद्यालय में एक शोध पद हासिल करने पर, रामानुजन अपने परिवार के साथ मद्रास चले गए।
गणित में करियर की तलाश :-
1910 में, रामानुजन की मुलाकात डिप्टी कलेक्टर वी. रामास्वामी अय्यर से हुई, जिन्होंने इंडियन मैथमैटिकल सोसाइटी की स्थापना की। राजस्व विभाग में नौकरी की इच्छा रखते हुए, जहां अय्यर काम करते थे, रामानुजन ने उन्हें अपनी गणित की नोटबुक दिखाईं। जैसा कि अय्यर ने बाद में याद किया:
“मैं नोटबुक में निहित असाधारण गणितीय परिणामों से चकित रह गया। मुझे राजस्व विभाग के सबसे निचले पायदान पर नियुक्ति देकर उनकी प्रतिभा को कुचलने का कोई मन नहीं था।”
अय्यर ने परिचय पत्र के साथ रामानुजन को मद्रास में अपने गणितज्ञ मित्रों के पास भेजा। उनमें से कुछ ने उनके काम को देखा और उन्हें नेल्लोर के जिला कलेक्टर और भारतीय गणितीय सोसायटी के सचिव आर. रामचन्द्र राव से मिलने भेजा। राव रामानुजन के शोध से प्रभावित थे लेकिन उन्हें संदेह था कि यह उनका अपना काम था। रामानुजन ने बॉम्बे के एक प्रसिद्ध गणितज्ञ, प्रोफेसर सलधाना के साथ राव के एक पत्राचार का उल्लेख किया, जिसमें सलधाना ने उनके काम मेंNसमझ की कमी व्यक्त की, लेकिन निष्कर्ष निकाला कि वह धोखेबाज नहीं थे। रामानुजन के मित्र सी. वी. राजगोपालाचारी ने रामानुजन की शैक्षणिक निष्ठा के बारे में राव के संदेह को शांत करने की कोशिश की।
राव उन्हें एक और मौका देने के लिए सहमत हुए, और जब रामानुजन ने अण्डाकार इंटीग्रल्स (elliptic integrals), हाइपरज्यामितीय श्रृंखला (hypergeometric series) और अपसारी श्रृंखला के उनके सिद्धांत (theory of divergent series) पर चर्चा की, तो राव ने कहा कि अंततः उन्हें रामानुजन की प्रतिभा का यकीन हो गया। जब राव ने उनसे पूछा कि वह क्या चाहते हैं, तो रामानुजन ने उत्तर दिया कि उन्हें काम और वित्तीय सहायता की आवश्यकता है। राव ने सहमति व्यक्त की और उन्हें मद्रास भेज दिया। राव की वित्तीय सहायता से उन्होंने अपना शोध जारी रखा। अय्यर की मदद से, रामानुजन ने अपना काम जर्नल ऑफ़ द इंडियन मैथमैटिकल सोसाइटी (Journal of the Indian Mathematical Society) में प्रकाशित किया।
जर्नल में उनके द्वारा रखी गई पहली समस्याओं में से एक इसका मूल्य ज्ञात करना था:
उन्होंने छह महीने तक तीन मुद्दों के समाधान की प्रतीक्षा की, लेकिन कोई समाधान नहीं मिल सका। अंत में, रामानुजन ने स्वयं समस्या का अधूरा समाधान प्रस्तुत किया।
अपनी पहली नोटबुक के पृष्ठ 105 पर, उन्होंने एक समीकरण तैयार किया जिसका उपयोग असीम रूप से नेस्टेड रेडिकल्स (nested radicals) समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है।
इस समीकरण का उपयोग करते हुए, जर्नल में पूछे गए प्रश्न का उत्तर केवल 3 था, जिसे x = 2, n = 1, और a = 0 करके प्राप्त किया गया था। रामानुजन ने बर्नौली संख्याओं के गुणों पर जर्नल के लिए अपना पहला औपचारिक पेपर लिखा। उन्होंने पिछले बर्नौली संख्याओं के आधार पर BN की गणना करने की एक विधि भी तैयार की।
अपने 17 पेज के पेपर “सम प्रॉपर्टीज़ ऑफ़ बर्नौलीज़ नंबर्स”(Some Properties of Bernoulli’s Numbers) (1911) में, रामानुजन ने तीन प्रमाण, दो परिणाम और तीन अनुमान दिए। शुरुआत में उनके लेखन में कई खामियां थीं, जैसा कि जर्नल संपादक एम. टी. नारायण अयंगर ने कहा:
“श्री रामानुजन की पद्धतियाँ इतनी संक्षिप्त और नवीन थीं और उनकी प्रस्तुति में स्पष्टता और परिशुद्धता की इतनी कमी थी, कि सामान्य गणितीय पाठक, जो इस तरह के बौद्धिक अभ्यास से परिचित नहीं था, शायद ही उनका अनुसरण कर सके”
रामानुजन ने बाद में एक और पेपर लिखा और जर्नल में समस्याएं भी प्रदान करना जारी रखा। 1912 की शुरुआत में उन्हें मद्रास अकाउंटेंट जनरल के कार्यालय में 20 रुपये मासिक वेतन पर एक अस्थायी नौकरी मिल गई। वह केवल कुछ सप्ताह तक ही टिक सका। उस कार्य के अंत में, उन्होंने मद्रास पोर्ट ट्रस्ट के मुख्य लेखाकार के अधीन एक पद के लिए आवेदन किया। रामानुजन ने लिखा:
“महोदय,
मैं समझता हूं कि आपके कार्यालय में एक क्लर्क पद रिक्त है, और मैं उसी के लिए आवेदन करना चाहता हूं। मैंने मैट्रिक परीक्षा उत्तीर्ण की है और एफ.ए. तक की पढ़ाई की है, लेकिन कई अप्रिय परिस्थितियों के कारण मुझे आगे की पढ़ाई करने से रोक दिया गया। हालाँकि, मैं अपना सारा समय गणित विषय को विकसित करने में लगा रहा हूँ। मैं कह सकता हूं कि मुझे पूरा विश्वास है कि अगर मुझे इस पद पर नियुक्त किया जाता है तो मैं अपने काम के साथ न्याय कर सकूंगा। इसलिए मैं निवेदन करता हूं कि आप मुझे नियुक्ति प्रदान करने में सक्षम होंगे।”
उनके आवेदन के साथ प्रेसीडेंसी कॉलेज में गणित के प्रोफेसर मिडलमास्ट की एक सिफारिश संलग्न थी, जिन्होंने लिखा था कि रामानुजन “गणित में काफी असाधारण क्षमता वाले युवा व्यक्ति थे”। आवेदन करने के तीन सप्ताह बाद, रामानुजन को पता चला कि उन्हें प्रति माह 30 रुपये वेतन पर तृतीय श्रेणी, ग्रेड 4 लेखा क्लर्क के रूप में स्वीकार कर लिया गया है। अपने कार्यालय में, रामानुजन ने उन्हें दिया गया कार्य आसानी से और शीघ्रता से पूरा किया और अपना खाली समय गणितीय अनुसंधान करने में बिताया। रामानुजन के बॉस, सर फ्रांसिस स्प्रिंग, और एस. नारायण अय्यर, जो भारतीय गणितीय सोसायटी के कोषाध्यक्ष भी थे, ने रामानुजन को उनकी गणितीय गतिविधियों में प्रोत्साहित किया।
ब्रिटिश गणितज्ञों से संपर्क :-
1913 में, नारायण अय्यर, रामचन्द्र राव और मिडिलमास्ट ने रामानुजन के कार्य को ब्रिटिश गणितज्ञों के सामने प्रस्तुत करने का प्रयास किया। यूनिवर्सिटी कॉलेज लंदन के एम. जे. एम. हिल ने टिप्पणी की कि रामानुजन के कागजात छेदों से भरे हुए थे। उन्होंने कहा कि हालांकि रामानुजन में “गणित के प्रति रुचि और कुछ क्षमताएं” थीं, लेकिन उनके पास गणितज्ञों द्वारा स्वीकार किए जाने के लिए आवश्यक शैक्षिक पृष्ठभूमि और आधार का अभाव था। हालाँकि हिल ने रामानुजन को एक छात्र के रूप में लेने की पेशकश नहीं की, लेकिन उन्होंने उनके काम पर पूरी तरह से और गंभीर पेशेवर सलाह दी। दोस्तों की मदद से, रामानुजन ने कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के प्रमुख गणितज्ञों को पत्र तैयार किया।
पहले दो प्रोफेसरों, एच.एफ. बेकर और ई.डब्ल्यू. हॉब्सन ने रामानुजन के पेपर बिना किसी टिप्पणी के लौटा दिये। 16 जनवरी 1913 को रामानुजन ने जी.एच. हार्डी को पत्र लिखा। एक अज्ञात गणितज्ञ की ओर से, गणित के नौ पृष्ठों ने हार्डी को शुरू में रामानुजन की पांडुलिपियों को एक संभावित धोखाधड़ी के रूप में देखने पर मजबूर कर दिया। हार्डी ने रामानुजन के कुछ सूत्रों को पहचान लिया, लेकिन अन्य पर “विश्वास करना मुश्किल लग रहा था”।हार्डी को जो प्रमेय अद्भुत लगे उनमें से एक पेज तीन के नीचे था (इसके लिए मान्य 0 < a < b + 1/2)
हार्डी अनंत श्रृंखला से संबंधित रामानुजन के कुछ अन्य कार्यों से भी प्रभावित थे:
पहला परिणाम 1859 में जी. बाउर द्वारा पहले ही निर्धारित किया जा चुका था। दूसरा हार्डी के लिए नया था, और हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला (hypergeometric series), नामक कार्यों के एक वर्ग से प्राप्त किया गया था, जिस पर पहली बार यूलर और गॉस द्वारा शोध किया गया था। हार्डी को ये परिणाम इंटीग्रल्स पर गॉस के काम की तुलना में “बहुत अधिक दिलचस्प” लगे। पांडुलिपियों के अंतिम पृष्ठ पर निरंतर भिन्नों पर रामानुजन के प्रमेयों को देखने के बाद, हार्डी ने कहा कि “प्रमेयों ने मुझे पूरी तरह से हरा दिया; मैंने पहले कभी उनके जैसा कुछ नहीं देखा था और वे सत्य होने चाहिए, क्योंकि, यदि वे सत्य नहीं होते, तो किसी को भी उनका आविष्कार करने की कल्पना नहीं होती”।
हार्डी ने एक सहकर्मी, लिटिलवुड से कागजात पर नज़र डालने के लिए कहा। लिटिलवुड रामानुजन की प्रतिभा से आश्चर्यचकित थे। लिटिलवुड के साथ कागजात पर चर्चा करने के बाद, हार्डी ने निष्कर्ष निकाला कि “पत्र निश्चित रूप से मुझे प्राप्त हुए सबसे उल्लेखनीय पत्र थे” और रामानुजन “उच्चतम गुणवत्ता के गणितज्ञ, पूरी तरह से असाधारण मौलिकता और शक्ति के व्यक्ति थे”। एक सहकर्मी, नेविल ने बाद में टिप्पणी की कि “दुनिया की सबसे उन्नत गणितीय परीक्षा में एक भी प्रमेय को सेट नहीं किया जा सकता था”।
फरवरी 1913 को, हार्डी ने रामानुजन को उनके काम में रुचि व्यक्त करते हुए एक पत्र लिखा, जिसमें कहा गया कि “यह आवश्यक है कि मैं आपके कुछ दावों के प्रमाण देखूं”। फरवरी के तीसरे सप्ताह में उनका पत्र मद्रास पहुंचने से पहले, हार्डी ने रामानुजन की कैम्ब्रिज यात्रा की योजना बनाने के लिए भारतीय कार्यालय से संपर्क किया। भारतीय छात्रों के लिए सलाहकार समिति के सचिव आर्थर डेविस ने विदेश यात्रा पर चर्चा करने के लिए रामानुजन से मुलाकात की। अपने ब्राह्मण पालन-पोषण के अनुसार, रामानुजन ने विदेशी भूमि पर जाने के लिए अपना देश छोड़ने से इनकार कर दिया। इस बीच, उन्होंने हार्डी को प्रमेयों से भरा एक पत्र भेजा, जिसमें लिखा था, “मुझे आप से एक मित्र मिला है जो मेरे श्रम को सहानुभूतिपूर्वक देखता है।”
हार्डी के समर्थन के पूरक के रूप में, ट्रिनिटी कॉलेज, कैम्ब्रिज के पूर्व गणितीय व्याख्याता गिल्बर्ट वॉकर ने रामानुजन के काम को देखा और आश्चर्य व्यक्त किया और युवा व्यक्ति से कैम्ब्रिज में समय बिताने का आग्रह किया। वॉकर के समर्थन के परिणामस्वरूप, एक इंजीनियरिंग कॉलेज में गणित के प्रोफेसर हनुमंत राव ने रामानुजन पर चर्चा करने के लिए रामानुजन के सहयोगी नारायण अय्यर को गणित अध्ययन बोर्ड की बैठक में आमंत्रित किया। बोर्ड रामानुजन को मद्रास विश्वविद्यालय में अगले दो वर्षों के लिए 75 रुपये की मासिक शोध छात्रवृत्ति देने पर सहमत हुआ।
जब वे एक शोध छात्र के रूप में कार्यरत थे, तब रामानुजन ने जर्नल ऑफ़ द इंडियन मैथमैटिकल सोसाइटी (Journal of the Indian Mathematical Society) को शोधपत्र प्रस्तुत करना जारी रखा। एक उदाहरण में, अय्यर ने श्रृंखला के योग पर रामानुजन के कुछ प्रमेय जर्नल को प्रस्तुत किए, और कहा, “निम्नलिखित प्रमेय मद्रास विश्वविद्यालय के गणित के छात्र एस. रामानुजन के है।” बाद में नवंबर में, मद्रास क्रिश्चियन कॉलेज के ब्रिटिश प्रोफेसर एडवर्ड बी. रॉस, जिनसे रामानुजन कुछ साल पहले मिले थे, एक दिन चमकती आंखों के साथ उनकी कक्षा में आए और अपने छात्रों से पूछा, “क्या रामानुजन पोलिश जानते हैं?”
इसका कारण यह था कि एक पेपर में, रामानुजन ने एक पोलिश गणितज्ञ के काम का अनुमान लगाया था जिसका पेपर हाल ही में डाक से आया था। अपने त्रैमासिक पत्रों में, रामानुजन ने निश्चित अभिन्नों को अधिक आसानी से हल करने योग्य बनाने के लिए प्रमेय तैयार किए।रामानुजन द्वारा इंग्लैंड आने से इनकार करने के बाद रामानुजन के साथ हार्डी के पत्राचार में खटास आ गई। हार्डी ने रामानुजन को सलाह देने और उन्हें इंग्लैंड लाने के लिए मद्रास में व्याख्यान देने वाले एक सहकर्मी ई. एच. नेविल को नियुक्त किया।
नेविल ने रामानुजन से पूछा कि वह कैम्ब्रिज क्यों नहीं जाएंगे। रामानुजन ने स्पष्ट रूप से अब प्रस्ताव स्वीकार कर लिया था; नेविल ने कहा, “रामानुजन को धर्म परिवर्तन की आवश्यकता नहीं थी” और “उनके माता-पिता द्वारा विरोध वापस ले लिया गया था”। जाहिर तौर पर, रामानुजन की माँ को एक ज्वलंत सपना आया था जिसमें कुल देवी, नामागिरी ने उन्हें आदेश दिया था कि “अब वह अपने बेटे और उसके जीवन के उद्देश्य की पूर्ति के बीच में न खड़ी रहें”। 17 मार्च 1914 को, रामानुजन ने जहाज से इंग्लैंड की यात्रा की और अपनी पत्नी को भारत में अपने माता-पिता के पास रहने के लिए छोड़ दिया।
इंग्लैंड में जीवन :-
रामानुजन 17 मार्च 1914 को मद्रास से रवाना हुए। 14 अप्रैल को जब वह लंदन में उतरे तो नेविल कार लेकर उनका इंतजार कर रहे थे। चार दिन बाद, नेविल उसे कैम्ब्रिज में चेस्टरटन रोड पर अपने घर ले गया। रामानुजन ने तुरंत लिटिलवुड और हार्डी के साथ अपना काम शुरू किया। छह सप्ताह के बाद, रामानुजन नेविल के घर से बाहर चले गए और हार्डी के कमरे से पांच मिनट की पैदल दूरी पर व्हीवेल्स कोर्ट में रहने लगे।
हार्डी और लिटिलवुड ने रामानुजन की नोटबुक्स को देखना शुरू किया। हार्डी को पहले दो पत्रों में रामानुजन से 120 प्रमेय पहले ही मिल चुके थे, लेकिन नोटबुक में कई और परिणाम और प्रमेय थे। हार्डी ने देखा कि कुछ ग़लत थे, कुछ का पहले ही पता चल चुका था और बाकी नई सफलताएँ थीं। रामानुजन ने हार्डी और लिटिलवुड पर गहरी छाप छोड़ी। लिटिलवुड ने टिप्पणी की, “मैं विश्वास कर सकता हूं कि वह कम से कम एक जैकोबी ( कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी एक जर्मन गणितज्ञ थे जिन्होंने elliptic functions, dynamics, differential equations, determinants and number theory में मौलिक योगदान दिया) है”, जबकि हार्डी ने कहा कि वह “उसकी तुलना केवल यूलर या जैकोबी से कर सकते हैं।”
रामानुजन ने हार्डी और लिटिलवुड के साथ मिलकर कैम्ब्रिज में लगभग पांच साल बिताए और अपने निष्कर्षों का कुछ हिस्सा वहां प्रकाशित किया। हार्डी और रामानुजन के व्यक्तित्व के बेहद विपरीत थे। उनका सहयोग विभिन्न संस्कृतियों, मान्यताओं और कार्यशैली का टकराव था। पिछले कुछ दशकों में, गणित की नींव सवालों के घेरे में आ गई थी और गणितीय रूप से कठोर प्रमाणों की आवश्यकता को मान्यता दी गई थी। हार्डी एक नास्तिक, प्रमाण और गणितीय कठोरता से प्रेरित थे, जबकि रामानुजन एक गहरे धार्मिक व्यक्ति थे जो अपने अंतर्ज्ञान और अंतर्दृष्टि पर बहुत भरोसा करते थे। हार्डी ने रामानुजन की शिक्षा में कमियों को भरने और उनके परिणामों का समर्थन करने के लिए औपचारिक प्रमाणों की आवश्यकता के बारे में सलाह देने की पूरी कोशिश की I
रामानुजन को उच्च समग्र संख्याओं पर उनके काम के लिए मार्च 1916 में रिसर्च डिग्री द्वारा कला स्नातक (पीएचडी डिग्री के पूर्ववर्ती) से सम्मानित किया गया था, जिसके पहले भाग के खंड पिछले वर्ष प्रकाशित हुए थे। लंदन गणितीय सोसायटी की कार्यवाही. पेपर 50 पृष्ठों से अधिक लंबा था और ऐसी संख्याओं के विभिन्न गुणों को साबित करता था। हार्डी को यह विषय क्षेत्र नापसंद था लेकिन उन्होंने टिप्पणी की कि इसमें रामानुजन ने ‘असमानताओं के बीजगणित पर असाधारण महारत’ प्रदर्शित की।
6 दिसंबर 1917 को, रामानुजन को लंदन मैथमैटिकल सोसाइटी के लिए चुना गया। 2 मई 1918 को, उन्हें रॉयल सोसाइटी का फेलो चुना गया, (1841 में अर्दसीर कर्सेटजी के बाद वह दूसरे भारतीय थे)। 31 साल की उम्र में, रामानुजन, रॉयल सोसाइटी के इतिहास में सबसे कम उम्र के फेलो में से एक थे। उन्हें “elliptic functions और संख्याओं के सिद्धांत (Theory of Numbers) में उनकी जांच के लिए” चुना गया था। 13 अक्टूबर 1918 को, वह ट्रिनिटी कॉलेज, कैम्ब्रिज के फेलो चुने जाने वाले पहले भारतीय थे।
बीमारी और मृत्यु :-
रामानुजन को जीवन भर कई स्वास्थ्य समस्याओं का सामना करना पड़ा। इंग्लैण्ड में उनका स्वास्थ्य बहुत खराब हो गया; संभवतः वहां अपने धर्म की सख्त आहार संबंधी आवश्यकताओं को पूरा करने में कठिनाई और 1914-18 में युद्धकालीन राशनिंग के कारण भी वह कम लचीले थे। उन्हें तपेदिक और गंभीर विटामिन की कमी का पता चला था, और उन्हें एक सेनेटोरियम में रखा गया था। 1919 में, वह कुंभकोणम, मद्रास प्रेसीडेंसी लौट आए और 1920 में 32 वर्ष की आयु में उनकी मृत्यु हो गई। उनकी मृत्यु के बाद, उनके भाई तिरुनारायणन ने रामानुजन के शेष हस्तलिखित नोट्स संकलित किए, जिसमें formulae on singular moduli, hypergeometric series और continued fractions शामिल थे।
रामानुजन की विधवा, श्रीमती जानकी अम्माल, बंबई चली गईं। 1931 में, वह मद्रास लौट आईं और ट्रिप्लिकेन में बस गईं, जहां उन्होंने मद्रास विश्वविद्यालय से मिलने वाली पेंशन और सिलाई से होने वाली आय से अपना भरण-पोषण किया। 1950 में, उन्होंने एक बेटे, W. नारायणन को गोद लिया, जो अंततः भारतीय स्टेट बैंक का एक अधिकारी बन गया और एक परिवार का पालन-पोषण किया। उनके बाद के वर्षों में, उन्हें रामानुजन के पूर्व नियोक्ता, मद्रास पोर्ट ट्रस्ट, और अन्य लोगों के अलावा, भारतीय राष्ट्रीय विज्ञान अकादमी और तमिलनाडु, आंध्र प्रदेश और पश्चिम बंगाल की राज्य सरकारों से आजीवन पेंशन दी गई। वह रामानुजन की स्मृति को संजोती रहीं, और उनकी सार्वजनिक मान्यता बढ़ाने के प्रयासों में सक्रिय रहीं; जॉर्ज एंड्रयूज, ब्रूस C. बर्नड्ट और बेला बोलोबास सहित प्रमुख गणितज्ञों ने भारत में रहते हुए उनसे मिलने का निश्चय किया। 1994 में उनके ट्रिप्लिकेन निवास पर उनकी मृत्यु हो गई।
1994 में डॉ. D. A. B. यंग द्वारा रामानुजन के मेडिकल रिकॉर्ड और लक्षणों के विश्लेषण से यह निष्कर्ष निकला कि उनके चिकित्सीय लक्षण – जिनमें उनके पिछले दौरे, बुखार और यकृत संबंधी स्थितियां शामिल हैं – हेपेटिक अमीबियासिस से उत्पन्न लक्षणों के बहुत करीब थे, जो उस समय मद्रास में व्यापक रूप से फैली हुई बीमारी थी। , तपेदिक की तुलना में। भारत छोड़ने से पहले उन्हें दो बार पेचिश की बीमारी हुई थी। जब ठीक से इलाज नहीं किया जाता है, तो अमीबिक पेचिश वर्षों तक निष्क्रिय रह सकती है और हेपेटिक अमीबियासिस का कारण बन सकती है, जिसका निदान तब अच्छी तरह से स्थापित नहीं हुआ था। उस समय, अगर ठीक से निदान किया जाए, तो अमीबियासिस एक इलाज योग्य और अक्सर इलाज योग्य बीमारी थी; प्रथम विश्व युद्ध के दौरान ब्रिटिश सैनिक जो इससे संक्रमित हुए थे, रामानुजन के इंग्लैंड छोड़ने के समय के आसपास अमीबियासिस से सफलतापूर्वक ठीक हो रहे थे।
व्यक्तित्व एवं आध्यात्मिक जीवन :-
सोते समय मुझे एक असामान्य अनुभव हुआ। मानो बहते खून से एक लाल पर्दा बन गया हो। मैं इसका अवलोकन कर रहा था. अचानक एक हाथ ने स्क्रीन पर लिखना शुरू कर दिया। मैं सबका ध्यान आकर्षित हो गया. उस हाथ ने अनेक अण्डाकार समाकलन लिखे। वे मेरे मन से चिपक गये। जैसे ही मैं जागा, मैंने उन्हें लिखने के लिए प्रतिबद्ध कर दिया। —श्रीनिवास रामानुजन
रामानुजन को कुछ हद तक शर्मीले और शांत स्वभाव के, सुखद व्यवहार वाले एक प्रतिष्ठित व्यक्ति के रूप में वर्णित किया गया है। उन्होंने कैंब्रिज में एक साधारण जीवन व्यतीत किया। रामानुजन के पहले भारतीय जीवनीकारों ने उन्हें एक कट्टर रूढ़िवादी हिंदू के रूप में वर्णित किया है। उन्होंने अपनी कुशाग्र बुद्धि का श्रेय अपनी कुल देवी, नमक्कल की नामगिरि थयार (देवी महालक्ष्मी) को दिया। उन्होंने अपने काम में प्रेरणा के लिए उनकी ओर देखा और कहा कि उन्होंने रक्त की बूंदों का सपना देखा है जो उनके पति नरसिम्हा का प्रतीक है। बाद में उन्हें अपनी आंखों के सामने जटिल गणितीय सामग्री के स्क्रॉल के दर्शन हुए। वह अक्सर कहा करते थे, “मेरे लिए किसी समीकरण का तब तक कोई मतलब नहीं है जब तक वह ईश्वर के बारे में कोई विचार व्यक्त न करता हो।”
“An equation means nothing to me unless it expresses a thought of God”
“एक समीकरण का मेरे लिए तब तक कोई मतलब नहीं है जब तक कि वह ईश्वर के बारे में कोई विचार व्यक्त न करे” — श्रीनिवास रामानुजन
हार्डी ने रामानुजन की टिप्पणी का हवाला देते हुए कहा कि उन्हें सभी धर्म समान रूप से सच्चे लगते थे। हार्डी ने आगे तर्क दिया कि रामानुजन की धार्मिक आस्था को पश्चिमी लोगों द्वारा रूमानी रूप दिया गया था और भारतीय जीवनीकारों द्वारा, उनके विश्वास के संदर्भ में, न कि अभ्यास के संदर्भ में, अतिरंजित किया गया था। साथ ही, उन्होंने रामानुजन के सख्त शाकाहारवाद पर टिप्पणी की।
इसी तरह, फ्रंटलाइन के साथ एक साक्षात्कार में, बर्नड्ट ने कहा, “कई लोग रामानुजन की गणितीय सोच के लिए रहस्यमय शक्तियों का गलत प्रचार करते हैं। यह सच नहीं है। उन्होंने प्रत्येक परिणाम को अपनी तीन नोटबुक में सावधानीपूर्वक दर्ज किया है I”
गणितीय उपलब्धिया :-
गणित में, अंतर्दृष्टि और किसी प्रमाण को तैयार करने या उस पर काम करने के बीच अंतर होता है। रामानुजन ने प्रचुर मात्रा में सूत्र प्रस्तावित किए जिनकी बाद में गहराई से जांच की जा सकती है। जी. एच. हार्डी ने कहा कि रामानुजन की खोजें असामान्य रूप से समृद्ध हैं और उनमें अक्सर शुरुआत में नजर आने वाली चीजों से कहीं अधिक बातें होती हैं। उनके कार्य के उपोत्पाद के रूप में अनुसंधान की नई दिशाएँ खुलीं। इनमें से सबसे दिलचस्प सूत्रों के उदाहरणों में π के लिए अनंत श्रृंखला शामिल है, जिनमें से एक नीचे दिया गया है:
इसके अलावा, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 और 16 × 9801 = 3962, जो संबंधित है यह तथ्य कि
इसकी तुलना हेगनर संख्याओं (Heegner numbers) से की जा सकती है, जिनकी कक्षा संख्या 1 है जिनसे समान सूत्र प्राप्त होते हैं।
रामानुजन की उल्लेखनीय क्षमताओं में से एक समस्याओं का त्वरित समाधान था, जिसे एक घटना के बारे में निम्नलिखित उपाख्यान द्वारा दर्शाया गया है जिसमें पी. सी. महालनोबिस ने एक समस्या प्रस्तुत की थी। रामानुजन ने इसके बारे में सोचा और जवाब एक निरंतर अंश दिया। असामान्य बात यह थी कि यह सभी प्रकार की समस्याओं का समाधान था। महलानोबिस चकित रह गए और उन्होंने पूछा कि उन्होंने यह कैसे किया। ‘यह सरल है। जिस क्षण मैंने समस्या सुनी, मुझे पता था कि उत्तर एक निरंतर अंश था। कौन सा अंश जारी रहा, मैंने खुद से पूछा। फिर मेरे दिमाग में उत्तर आया’, रामानुजन ने उत्तर दिया।”
उनके अंतर्ज्ञान ने उन्हें कुछ पहले से अज्ञात पहचान प्राप्त करने के लिए भी प्रेरित किया, जैसे कि
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}\left({\frac {1}{4}}\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1f41906de36552b7e0243e1fca8679083b79df)
रामानुजन अनुमान (रामानुजन पीटरसन अनुमान) :-
हालाँकि ऐसे कई कथन हैं जिनका नाम रामानुजन अनुमान हो सकता है, उनमें से एक बाद के काम पर अत्यधिक प्रभावशाली था। विशेष रूप से, बीजगणितीय ज्यामिति में आंद्रे वेइल के अनुमानों के साथ इस अनुमान के संबंध ने अनुसंधान के नए क्षेत्रों को खोल दिया। पियरे डेलिग्ने के वेइल अनुमान के प्रमाण के परिणामस्वरूप, यह अंततः 1973 में सिद्ध हो गया। इसमें शामिल reduction step जटिल है। डेलिग्ने ने उस काम के लिए 1978 में फील्ड्स मेडल जीता।
अपने पेपर “कुछ अंकगणितीय कार्यों पर( On certain arithmetical functions )” में, रामानुजन ने तथाकथित डेल्टा-फ़ंक्शन को परिभाषित किया, जिसे रामानुजन ताऊ फ़ंक्शन (the Ramanujan tau function) कहा जाता है। उन्होंने इन संख्याओं के लिए कई सर्वांगसमताएँ सिद्ध कीं। इस सर्वांगसमता ने जीन-पियरे सेरे (1954 फील्ड्स मेडलिस्ट) को यह अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया कि गैलोज़ प्रतिनिधित्व का एक सिद्धांत (theory of Galois representations) है जो इन सर्वांगसमताओं और अधिक सामान्यतः सभी मॉड्यूलर रूपों को व्याख्या करता है। डेलिग्ने ने सेरे के अनुमान को साबित कर दिया।
रामानुजन की खोई हुई नोटबुक
मद्रास में रहते हुए, रामानुजन ने अपने अधिकांश परिणाम लूज़ पेपर की चार नोटबुक में दर्ज किए। वे अधिकतर बिना किसी व्युत्पत्ति के लिखे गए थे। संभवतः यह ग़लतफ़हमी का मूल है कि रामानुजन अपने परिणामों को साबित करने में असमर्थ थे और उन्होंने सीधे अंतिम परिणाम के बारे में सोचा। गणितज्ञ ब्रूस सी. बर्नड्ट ने इन नोटबुक्स और रामानुजन के काम की समीक्षा में कहा है कि रामानुजन निश्चित रूप से अपने अधिकांश परिणामों को साबित करने में सक्षम थे, लेकिन उन्होंने अपने नोट्स में प्रमाणों को दर्ज नहीं करने का फैसला किया।
ऐसा कई कारणों से हो सकता है। चूंकि कागज बहुत महंगा था, रामानुजन ने अपना अधिकांश काम और शायद अपने प्रमाण स्लेट पर किए, जिसके बाद उन्होंने अंतिम परिणामों को कागज पर स्थानांतरित कर दिया। उस समय, मद्रास प्रेसीडेंसी में गणित के छात्रों द्वारा आमतौर पर स्लेट का उपयोग किया जाता था। इस बात की भी काफी संभावना थी कि वह जी.एस. कैर की पुस्तक की शैली से प्रभावित थे, जिसमें बिना सबूत के परिणाम बताए गए थे। यह भी संभव है कि रामानुजन ने अपने काम को केवल अपने व्यक्तिगत हित के लिए माना हो और इसलिए केवल परिणाम ही दर्ज किए हों।
पहली नोटबुक में 351 पृष्ठ हैं जिनमें 16 कुछ हद तक व्यवस्थित अध्याय और कुछ असंगठित सामग्री है। दूसरे में 21 अध्यायों में 256 पृष्ठ और 100 असंगठित पृष्ठ हैं, और तीसरे में 33 असंगठित पृष्ठ हैं। उनकी नोटबुक के परिणामों ने बाद के गणितज्ञों द्वारा कई शोधपत्रों को प्रेरित किया जो यह साबित करने की कोशिश कर रहे थे कि उन्होंने क्या पाया था। जी.एन. वाटसन, बी.एम. विल्सन और ब्रूस बर्नड्ट की तरह हार्डी ने भी रामानुजन के काम से सामग्री की खोज करते हुए स्वयं पत्र लिखे।
1976 में, जॉर्ज एंड्रयूज़ ने 87 असंगठित पृष्ठों वाली चौथी नोटबुक, तथाकथित “खोई हुई नोटबुक” को फिर से खोजा।
हार्डी-रामानुजन संख्या 1729 :-
एक अस्पताल में रामानुजन को देखने के लिए हार्डी की प्रसिद्ध यात्रा के बाद संख्या 1729 को हार्डी-रामानुजन संख्या के रूप में जाना जाता है। हार्डी के शब्दों में:
मुझे याद है कि एक बार जब वह पुटनी में बीमार थे तो मैं उनसे मिलने गया था। मैंने टैक्सी कैब नंबर 1729 में यात्रा की थी और टिप्पणी की थी कि यह नंबर मुझे थोड़ा नीरस लग रहा था, और मुझे आशा थी कि यह एक प्रतिकूल शगुन नहीं था। “नहीं”, उन्होंने उत्तर दिया, “यह एक बहुत ही दिलचस्प संख्या है; यह दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों के योग के रूप में व्यक्त की जाने वाली सबसे छोटी संख्या है।”
दो अलग-अलग तरीके हैं:
इस किस्से से तुरंत पहले, हार्डी ने लिटिलवुड को यह कहते हुए उद्धृत किया, “प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक रामानुजन के निजी मित्रों में से एक था।” इस विचार के सामान्यीकरण ने “टैक्सीकैब नंबर” की धारणा बनाई है।
रामानुजन के बारे में गणितज्ञों के विचार :-
1920 में नेचर के लिए लिखे गए रामानुजन के अपने मृत्युलेख में, हार्डी ने देखा कि रामानुजन के काम में मुख्य रूप से वे क्षेत्र शामिल थे जो अन्य शुद्ध गणितज्ञों के बीच भी कम ज्ञात थे, और निष्कर्ष निकाला I
सूत्रों के बारे में उनकी अंतर्दृष्टि काफी अद्भुत थी, और पूरी तरह से किसी भी यूरोपीय गणितज्ञ से मुझे मिली किसी भी चीज़ से परे थी। उनके इतिहास के बारे में यह अनुमान लगाना शायद बेकार है कि क्या उन्हें छब्बीस की बजाय सोलह साल की उम्र में आधुनिक विचारों और तरीकों से परिचित कराया गया था। यह मान लेना अतिश्योक्ति नहीं होगी कि वह अपने समय के महानतम गणितज्ञ बन गये होंगे। उन्होंने वास्तव में जो किया वह काफी अद्भुत है… जब उनके द्वारा सुझाए गए शोध पूरे हो जाएंगे, तो यह शायद आज की तुलना में कहीं अधिक अद्भुत लगेगा।
मरणोपरांत :-
स्मारक डाक टिकट :-
भारतीय डाक द्वारा जारी स्मारक टिकट (वर्ष के अनुसार):
2016
2012
2011
1962
JULIUS ROBERT OPPENHEIMER – जूलियस रॉबर्ट ओपेनहाइमर – परमाणु बम के जनक